Mechanické kmitanie

Každé zariadenie, ktoré môže voľne kmitať, nazývame oscilátor. Kmitanie spôsobuje sila pružnosti alebo tiažová sila. Mechanické oscilátory konajú kmitavý pohyb. Pružinový oscilátor, kyvadlo. Kmitanie oscilátora najlepšie posúdime podľa jeho časového diagramu. Pozorujeme, že vždy po istom čase sa oscilátor dostane do rovnakej polohy. Túto periodicky sa opakujúcu časť kmitavého pohybu nazývame kmit.

1. Perióda alebo doba kmitu T, za ktorú prebehne jeden kmit a oscilátor dospeje do zvoleného začiatočného stavu. Meria sa v sekundách.

2. Frekvencia alebo kmitočet f. Rovná sa počtu kmitov, ktoré prebehnú za sekundu. Je teda prevrátenou hodnotou periódy: f=1/T. Jednotkou je [f]=s^-1=Hz.

Jednoduchý kmitavý pohyb alebo harmonický pohyb (napätie v sieti).

Pre jednoduchý kmitavý pohyb, alebo harmonický dej platí: y=y_m sin wt. Kde y je okamžitá výchylka, y_m je amplitúda. => základná rovnica kmitavého pohybu. 2p

w = -- = 2pf w = rad.s^-1

T

Jednoduchý kmitavý pohyb je pohyb periodický, priamočiary a nerovnomerný. Jeho okamžitá výchylka sa periodicky mení podľa funkcie sínus. Deje voláme aj harmonické kmitanie.

Pre rýchlosť kmitavého pohybu v = w y_m cos wt.

Pre zrýchlenie platí a=-w²y. Zrýchlenie kmitavého pohybu je priamo úmerné okamžitej výchylke a v každom okamihu má opačný smer.

Fáza kmitavého pohybu: y=y_m sin w(t+t₀) = y_m sin (wt+wt₀), keď označíme wt₀=j, bude mať rovnica tvar: y=y_m sin (wt+j). Veličina j je začiatočná fáza kmitavého pohybu. Určuje hodnotu veličiny harmonického kmitania v začiatočnom okamihu (t=0 s).

Dosiaľ sme kmitavé deje znázorňovali časovým diagramom, ktorý vyjadruje istú veličinu deja ako f-ciu času. Teraz použijeme fázorový diagram. Veličina harmonického deja je znázornená ako vektor Y, ktorého veľkosť zodpovedá amplitúde veličiny y_m. Vektor je umiestnený v sústave (O,x,y) tak, že začiatok leží v začiatku O sústavy a zviera s kladným smerom osi x uhol rovnajúci sa začiatočnej fáze j.

Okamžitá výchylka y zloženého kmitania je y=y₁+y2_y+…+y_k, tento princíp sa nazýva princíp superpozície. Fázový rozdiel Dj=j₂-j₁. Izochrónne kmitanie sa pri rovnakej začiatočnej fáze superpozíciou zosilňuje a pri opačnej začiatočnej fáze sa zoslabuje. Keď w₁=/=w₂ vzniká zložené kmitanie, ktoré nie je harmonické.

Keď na pružinu zavesíme závažie s hmotnosťou m, pružina sa pôsobením tiaže závažia G=mg predĺži na dĺžku l=l₀+Dl. Pritom sa však deformuje. F_p=k(l-l₀)=kDl, kde k je vlastnosť pružiny nazvaná tuhosť pružiny k = F_p/Dl.

Pri okamžitej výchylke y pôsobí na oscilátor celková sila veľkosti F= F_g -F_p = mg - k( Dl + y) Keďže mg=kDl, je príčinou kmitania oscilátora sila, ktorej priemet do osi y je F = -k y. Harmonický pohyb mechanického oscilárora je spôsobený silo F, ktorá stále smeruje do rovnovážnej polohy a je priamo úmerná okamžitej výchylke. Pre zrýchlenie harmonického pohybu oscilátora a = F/m = -k y / m so vzťahom pre zrýchlenie harmonického pohybu a = -w₀² y a dostaneme w₀²=k/m alebo w₀= k/m. Uhlová frekvencia w₀ vlastného kmitania závisí iba od vlastností oscilátora, t.j. od jeho hmotnosti a tuhosti. Tieto veličiny voláme parametre oscilátora. Úpravou nájdeme vzťah pre periódu T₀ a frekvenciu f₀ vlastného kmitania oscilátora:

m 1 k

T₀ = 2p -- f₀ = -- --

k 2p m

Práca W, ktorá sa vykoná pri kmitaní oscilátora je úmerná obsahu vyšrafovaného trojuholníka W = 1/2 Fy = 1/2 ky². Pri harmonickom pohybe sa periodicky mení potenciálna energia oscilátora na kinetickú energiu a naopak. Celková energia oscilátora je konštantná a v každom okamihu sa rovná súčtu potenciálnej a kinetickej energie. Pri postupnom zmenšovaní amplitúdy hovoríme o tlmenom kmitaní. Vlastné kmitanie oscilátora je vždy tlmené.

Elektromagnetický oscilátor: Najjednoduchším modelom je obvod s cievkou a kondenzátorom. Obvod LC. L a C sú parametre oscilačného obvodu. Kondenzátor je časť obvodu, v ktorej možno sústrediť elektrickú energiu E_e. Jej veľkosť je úmerná náboju Q kondenzátora a napätiu U medzi elektródami: E_e=1/2 QU. Keďže kapacita kondenzátora C=Q/U, platí pre elektrickú energiu aj vzťah E_e=1/2 Q²/C. Nabitý kondenzátor je zdrojom prúdu I v cievke, v okolí ktorej vzniká magnetické pole s magnetickou energiu Em=1/2 LI2. Vzájomné premeny týchto energií sa prejavujú ako kmitanie oscilačného obvodu. Vzniká tu elektromagnetické kmitanie. Vlastné kmitanie elektromagnetického oscilátora je vždy tlmené. V elektromagnetickom oscilátore sa periodicky mení elektrická energia na magnetickú a naopak.

Nútené kmitanie vzniká pôsobením sily alebo napätia na oscilátor aj na objekty, ktoré nemajú vlastnosti oscilátora. Frekvencia núteného kmitania závisí od frekvencie pôsobiacej sily, prípadne napätia, a nezávisí od vlastností kmitajúceho objektu. Nútené kmitanie je netlmené.

Keď sa frekvencia núteného kmitania rovná vlastnej frekvencii oscilátora, nastáva rezonancia. Amplitúda núteného kmitania je pri rezonancii maximálna (rezonančné zosilnenie). Energia prechádza z oscilátora do rezonátora väzbou. Pri voľnej väzbe vzniká v rezonátore nútené kmitanie iba pri rezonančnej frekvencii.

Voľnou väzbou možno dosiahnuť výrazný prenos energie medzi oscilátormi, t.j. utvoriť nútené kmitanie iba při rezonančnej frekvencii.