Mechanika kvapalín a plynov

 

Kvapaliny a plyny označujeme spoločným názvom tekutiny. Tekutiny nemajú vlastný tvar a sú ľahko deliteľné. Základná vlastnosť kvapalín - vzájomná posúvateľnosť ich molekúl.

Z ich molekulovej štruktúry vyplývajú ďalšie:

a)      sú tekuté, nadobúdajú tvar nádoby, do ktorej boli naliate  a utvárajú voľnú hladinu. Voľná hladina kvapaliny  v pokoji je kolmá na tiažovú silu.

b)      vnútorné trenie (viskozita) kvapalín je príčinou  rozdielnej tekutosti a odporu proti pohybu a zmene tvaru

c)      sú veľmi málo stlačiteľné

d)      v pokoji pôsobia tlakové sily kolmo na ľubovoľnú rovnú  plochu

e)      pri kvapalinách sa vyskytujú kapilárne javy

 

Pri skúmaní sa kvapaliny idealizujú, tak vzniká model ideálnej kvapaliny, ktorej molekulovú štruktúru zanedbávame a považujeme ju za spojitú (kontinuum).

Ideálna kvapalina je bez vnútorného trenia, preto je dokonale tekutá, považujeme ju za nestlačiteľnú.

Hydrostatika skúma podmienky rovnováhy kvapalín a telies do nich ponorených.

 

1. TLAK SPÔSOBENÝ VONKAJŠOU SILOU

 

         F                                N

 P = ---                    [p] = [---] = Pa

         S                      skalár     m2

 

Tlak - určuje stav kvapaliny v pokoji v istom mieste, kde F je veľkosť sily pôsobiacej kolmo na rovinnú plochu s obsahom S. Z toho F = p .S - veľkosť tlakovej sily na plochu.

 

PASCALOV ZÁKON - tlak spôsobený vonkajšími silami v kvapaline je vo všetkých miestach rovnaký.

 

2. TLAK SPÔSOBENÝ VLASTNOU TIAŽOV KVAPALINY

 

 p = h V g - hydrostatický tlak

                h -  hĺbka kvapaliny pod voľným povrchom

                V  - hustota kvapaliny

                g -  tiažové zrýchlenie

 

Hladina - plochy s rovnakým hydrostatickým tlakom

Voľná hladina - hladina na voľnom povrchu

Tlakové pole - matematické opísanie tlakových pomerov  v kvapaline

Všetko toto môžeme v aerostatike aplikovať na plyny v pokoji

HYDRAULICKÝ LIS

   

           p1 = p2

 

           F1    F2

           -- = --

           S1    S2

 

           F1    S1

           -- = --

           F2    S2

Pre každé hydraulické zariadenie platí: V obidvoch ramenách sa mení objem kvapaliny o rovnakú hodnotu. Hydraulické zariadenie niekoľkokrát zväčšuje silu, ale mechanická práca vykonaná v obidvoch ramenách je rovnaká.

 W1 = W2 - zákon zachovania energie ( W1 = F1. h1, W2 = F2. h2 )

Využitie hydraulických zariadení: tlakové spínače, kovacie lisy, hydraulické brzdy áut.

Hydrostatickým paradoxom označujeme poznatok, že veľkosť tlakovej sily na dno nádoby nezávisí od hmotnosti kvapaliny v nádobe, ale iba od výšky kvapalinového stĺpca a plošného

obsahu.

 

ARCHIMEDOV ZÁKON: Teleso ponorené do kvapaliny je nadľahčované hydrostatickou vztlakovou silou, ktorej veľkosť sa rovná tiaži kvapaliny s rovnakým objemom, ako je objem ponorenej časti telesa.

Hydrostatická vztlaková sila:

 Fvz =  Vt Vk g   (Vt = objem telesa, Vk = hustota kvapaliny)

Dôsledkom Archimedovho zákona je i správanie sa telies v kvapaline.

1. vznáša sa - Fg = Fvz,  Vt = Vk, celkom ponorené teleso sa  v kvapaline vznáša

2. stúpa - Fg < Fvz, Vt < Vk , teleso vystupuje nahor

3. klesá - Fg > Fvz, Vt > Vk , teleso klesá ku dnu.

To isté teleso sa v rôznych kvapalinách ponorí tým väčšou časťou svojho objemu, čím je hustota kvapaliny menšia. Na tomto poznatku sú založené hustomery.

 

PRÚDENIE IDEÁLNEJ KVAPALINY

Ustálené prúdenie (stacionárne) je také, keď je rýchlosť prúdiacej kvapaliny v danom mieste stála (s časom sa nemení). V opačnom prípade sa prúdenie nazýva neustálené (nestacionárne).

Prúdnica - myslená čiara, ktorej dotyčnica zostrojená v ľubovoľnom bode určuje smer rýchlosti pohybujúcej sa častice kvapaliny. Každým bodom prechádza práve jedna prúdnica. Prúdnice sa nemôžu pretínať.

Všetky prúdnice tvoria plochu, ktorá sa nazýva prúdová trubica.

Prúdové vlákno tvorí kvapalina ohraničená prúdovou trubicou.

Keď je hustota kvapaliny V, hmotnosť kvapaliny, ktorá za 1 sekundu pretečie týmto prierezom je hmotnostný tok.  Qm = S .v. V

Hmotnostný tok v ľubovoľnej časti prúdovej trubice musí byť stály, lebo kvapalina nemôže stenami ani vytiecť ani pritiecť.

Teda S.v.V - konštanta - rovnica spojitosti (kontinuity)

 - vyjadruje zákon zachovania hmotnosti pre  ustálené prúdenie kvapaliny

 - platí pre všetky tekutiny (teda aj pre plyny)

Keďže uvažujeme o prúdení nestlačiteľnej kvapaliny, tak pri stálej teplote je stála aj hustota, preto S.v – konštanta

 V danom okamihu možno v každom  bode prúdiacej kvapaliny určiť  vektor rýchlosti jednotlivých  častíc kvapaliny. Matematicky  môžeme prúdiacu kvapalinu opísať  vektorovým poľom rýchlosti.

 

Tlak vody v potrubí je oveľa väčší ako atmosferický tlak. Kvapaliny pod tlakom môžu konať prácu, majú teda tlakovú energiu. Tlakovú energiu má aj ideálna kvapalina.

 Keď piest pôsobením tlakovej  sily kvapaliny F = p .S posunie o  dĺžku Dx, vykoná prácu

 W = F Dx = p S Dx = p DV               

       DW                                  J

 p = -----               [p]= Pa = ---

       DV                                  m3

 Číselná hodnota tlaku kvapaliny  určuje číselnú hodnotu tlakovej energie kvapaliny pripadajúcu na jednotkový objem.

 

 Vodorovnou trubicou s rôznymi  prierezmi, na ktorých sú  manometrické trubice, necháme  prúdiť vodu. Výška vody  v manometrickej trubici udáva tlak  prúdiacej kvapaliny. Najväčší tlak  je v mieste najväčšieho prierezu a  voda tu prúdi najmenšou rýchlosťou.  V menšom priereze je rýchlosť väčšia a tlak naopak menší.

Celková energia jednotkového objemu prúdiacej kvapaliny sa skladá z :

a) tlakovej energie p

b) kinetickej energie 1/2 V v2

Pretože v ideálnej kvapaline sa mechanická energia nemôže meniť na iné formy energie, súčet tlakovej a kinetickej energie je stály.

       1

 p + - V v2 = konštanta - Bernoulliho

       2                              rovnica

 

Pre miesta s rozličným prierezom platí:

p1 + 1/2 Vv12  = p2 + 1/2 Vv22

Bernoulliho rovnica vyjadruje zákon zachovania mechanickej energie prúdiacej ideálnej kvapaliny vo vodorovnej trubici.

Hydrodynamický paradox = také zúženie trubice, pri ktorom tlak v kvapaline v dôsledku veľmi veľkej rýchlosti klesne pod hodnotu atmosferického tlaku a teda nastáva nasávanie vzduchu do potrubia. Vznik podtlaku.

 

 


Použitie Bernuolliho rovnice - meranie rýchlosti prúdiacej  kvapaliny

-         pre rýchlosť kvapaliny platí:

- prúdiaca kvapalina

p1 + 1/2 V v12 = p2          v =  2Dp / V

- vytekajúca kvapalina

h V g = 1/2 V v2                         v =   2hg

Voda a iné kvapaliny sa pri prúdení nesprávajú ako ideálna kvapalina. Prejavujú sa bŕzdiace sily, ktoré majú pôvod v silovom pôsobení častíc kvapaliny (vnútorné trenie). Práca vykonaná silami vnútorného trenia určuje, aká časť tlakovej energie sa premení na vnútornú energiu kvapaliny.

Pretože trubica má stály prierez,  je podľa rovnice kontinuity  veľkosť priemernej rýchlosti  prúdiacej kvapaliny po celej dĺžke  trubice rovnaká. Je však menšia  ako rýchlosť, ktorou by vytekala  kvapalina priamo z otvoru v stene.  Tlak kvapaliny pri výtokovom  otvore sa rovná nule. Pozdĺž trubice nastáva rovnomerný pokles tlaku. Spojnica stredov voľných hladín v manometrických trubiciach pretnú stenu nádoby v hĺbke h1 pod hladinou v nádobe. Táto časť určuje tlakovú energiu, ktorá sa premenila na kinetickú energiu vytekajúcej kvapaliny. Zostávajúca tlaková energia sa mení na vnútornú energiu kvapaliny (zvyšovanie teploty kvapaliny)

Medzná vrstva kvapaliny - tenká vrstvička kvapaliny priľnutá k stenám trubice. Je voči stenám trubice v pokoji. Prúdiacu kvapalinu si predstavujeme rozdelenú na vrstvy, ktoré sa po sebe posúvajú rýchlosťou zväčšujúcou sa od steny k osi trubice, kde dosiahne maximálnu hodnotu.

Laminárne prúdenie - ustálené prúdenie a malé rýchlosti. Vrstvy kvapaliny sa po sebe pravidelne posúvajú.

Turbulentné prúdenie - väčšia rýchlosť, prepletanie a rozpadanie prúdových vlákien, zmiešavanie a vírenie s ostatnou kvapalinou.

Obtekanie telies tekutinou - zložitý jav, uplatňujú sa sily trenia, teda odpor prostredia

Odporová sila - sila, ktorá vzniká pri vzájomnom pohybe telesa a tekutiny a pôsobí proti pohybu. Veľkosť odporovej sily závisí od tvaru telesa. Najväčšiu má dutá polguľa, najmenšiu teleso aerodynamického tvaru.

PRE MALÉ RÝCHLOSTI VEĽKOSŤ ODPOROVEJ SILY JE PRIAMO ÚMERNÁ

VEĽKOSTI RÝCHLOSTI TELESA VZHĽADOM NA PROSTREDIE. ZÁVISLOSŤ OD TVARU SA PREJAVUJE MENEJ. Pri väčších rýchlostiach sa odporová sila zväčšuje. Newton odvodil pre veľkosť odporovej sily vzťah:

             1

 F = C --- V S v2      (C - súčiniteľ odporu a závisí od tvaru telesa )

             2

Pri veľkých rýchlostiach odporová sila výrazne stúpa. Preto sa karosérie áut, motocyklov, lietadiel . . . prispôsobujú aerodynamickému tvaru. Keď je rýchlosť telesa väčšia ako rýchlosť šírenia zvuku v danom prostredí, veľkosť odporovej sily je priamo úmerná tretej mocnine veľkosti rýchlosti, vzniká rázová vlna, ktorá je príčinou silných zvukových treskov pri nízkom prelete nadzvukových lietadiel.

Pri obtekaní krídla vidíme, že nad krídlom nastáva zhustenie prúdnic, pod krídlom sa objaví ich zriedenie. Toto dokazuje, že nad krídlom sa objaví podtlak a pod krídlom pretlak (absolútna hodnota podtlaku je väčšia ako absolútna hodnota pretlaku).

Fx - odporová aerodynamická sila

Fy - vztlaková aerodynamická sila

a - uhol nábehu

F - aerodynamická sila

                1

  Fx = Cx.-- .V.S.v2

                2

                1

  Fy = Cy.-- .V.S.v2

                2

 

Cx - súčiniteľ odporu

Cy - súčiniteľ vztlaku

Smer aerodynamickej sily sa odchyľuje do smeru pohybu. Pri konštruovaní krídel lietadiel je dôležité dosiahnuť čo najväčšiu vztlakovú silu a čo najmenšiu odporovú silu.