Základy špeciálnej teórie relativity

ŠTR vznikla na začiatku 20.storočia. Je spojená s menom Alberta Einsteina a upresnila význam základných fyzikálnych pojmov, veličín, vzťahov a zákonov pre prípad veľkých rýchlostí, porovnateľných s rýchlosťou svetla vo vákuu.

Uplatňuje sa pri tvorbe urýchľovačov, vo fyzike elementárnych častíc, vysvetľuje závislosť medzi zmenou hmotnosti a energiou uvoľnenou pri jadrových reakciách.

Vznik ŠTR.

Z Maxwellovej teórie elektromagnetického vlnenia, vypracovanej v 2. polovici 19.storočia vyplynulo, že svetlo je elektromagnetickým vlnením. Všetky vtedy známe vlnové deje boli vlnením určitého prostredia. Preto sa fyzici domnievali, že aj svetlo je vlnením určitého prostredia - éteru. Nepodarilo sa im však vymyslieť jeho mechanický model a časom sa ustálilo presvedčenie, že elektromagnetické javy nemožno vysvetliť pomocou mechaniky.

Preto bola vybudovaná ŠTR. Špeciálnou sa nazýva preto, lebo platí iba v inerciálnych sústavách. Je založená na dvoch postulátoch:

1. Princíp relativity: Vo všetkých inerciálnych sústavách platia rovnaké fyzikálne zákony. (Žiadnymi pokusmi vo vnútri sústavy nemožno zistiť, či je táto sústava vzhľadom na inú sústavu v pokoji, alebo sa vzhľadom na ňu pohybuje rovnomerne priamočiaro).

2. Princíp konštantnej rýchlosti svetla: Vo všetkých inerciálnych sústavách má rýchlosť svetla vo vákuu rovnakú veľkosť, nezávislú od rýchlosti zdroja svetla. Táto hodnota nezávisí od smeru šírenia svetla a od vzájomného pohybu svetelného zdroja pozorovateľa.

Relatívnosť súčasnosti

Nech je vzťažnou sústavou S priama trať. Sústavou S` je dlhý vagón, ktorý ide priamočiaro a rovnomerne po trati rýchlosťou v. Uprostred vagóna je signálna lampa Z a na oboch koncoch vagóna rovinné zrkadlá A,B. V istom okamihu signálna lampa blikne. Pozorovateľ vo vzťažnej sústave S` zistí, že svetelný signál dopadne na obidva zrkadlá súčasne, lebo svetlo prebehlo v oboch prípadoch rovnaké vzdialenosti rýchlosťou c. Dve nesúmiestne udalosti sú z jeho hľadiska súčasne. V sústave S však pozorovateľ na trati zistí, že signály nedopadnú na obidve zrkadlá súčasne. Svetlo sa v jeho sústave šíri tiež rýchlosťou c, no zrkadlo A sa posunulo počas šírenia svetelného signálu z miesta A na miesto A` (bližšie ku zdroju), kým zrkadlo B sa vzdialilo do miesta B` (ďalej od zdroja). Z toho je zrejmé, že pre pozorovateľa na trati dôjde svetlo k zrkadlu A skôr ako k zrkadlu B. Pre tohto pozorovateľa sú obe udalosti nesúmiestne a tiež nesúčasné.

Pre pozorovateľa v sústave S platí: ct₁=L+vt₁, kde ct₁ je dráha, ktorú prejde svetlo za čas t₁, L je vzdialenosť prednej steny od zdroja v čase, keď bol signál vyslaný a vt₁ je vzdialenosť, ktorú prejde predná stena za čas medzi vyslaním signálu a jeho dopadom na prednú stenu. Z rovnice dostaneme: t₁ = L / (c-v). Podobne pre čas, ktorý dopadne svetlo na zadnú stenu dostaneme rovnicu ct₂=L-vt₂, z ktorej t₂ = L / (c+v). Zrejme t₂ < t₁ a dopad signálu na prednú stenu a zadnú stenu vagóna nebude súčasný.

Súčasnosť dvoch udalostí je relatívna. O súčasnosti dvoch udalostí môžeme hovoriť len vtedy, keď je daná vzťažná sústava. Ako súčasné sa teda môžu v oboch sústavách javiť iba udalosti, ktoré sú v oboch sústavách tiež súmiestne.

Synchronizácia hodín a dilatácia času

Každá sústava má svoje chápanie súčasnosti a svoje chápanie synchronizácie hodín umiestnených v rozličných miestach.

Synchronizáciu hodín si najjednoduchšie môžeme predstaviť takto: Na každé miesto v danej vzťažnej sústave umiestnime hodiny rovnakej konštrukcie. Jedny hodiny, ľubovoľné, zvolíme za referenčné a ostatné budeme s mini synchronizovať a to takto: Do stredu vzdialeností oboch hodín umiestnime svetelný zdroj a vyšleme signál k obom hodinám. Hodiny posunieme tak, aby pri príchode svetelného signálu ukazovali rovnaký čas.

Myšlienkový pokus s Einsteinovými svetelnými hodinami.

Einsteinové svetelné hodiny sa skladajú s tyče s dĺžkou L a zo zrkadiel Z₁, Z₂ upevnených na koncoch tejto tyče. Na zrkadle Z₁ je citlivá vrstva m, ktorá dáva pri dopade svetelného impulzu elektrický signál. Svetlo sa po dopade na Z₁ odrazí k Z₂, na ňom sa odrazí späť k Z₁, čím vznikne druhý elektrický signál. Časový interval medzi dvoma signálmi je t₀=2L/c

Predpokladajme, že jedny svetelné hodiny sú umiestnené na kozmickej lodi(inerciálna sústava S`), ktorá sa vzďaľuje od Zeme veľkou rýchlosťou v tak, že tyč svetelných hodín je kolmá na smer pohybu lode. Predpokladajme tiež, že dĺžka tyče sa nemení. Trajektória svetelného impulzu v hodinách v lodi má pre pozorovateľa na zemi tvar znázornený na obrázku.

Dobu jedného tiku t vypočítame pre pozorovateľa na zemi zo vzorca

1 1

(- c Dt)²= L²+(- vDt)²

2 2

pričom Dt je doba, za ktorú prejde svetlo od zrkadla Z₁ ku zrkadlu Z₂ a späť. Z toho po úprave

2L 1

Dt = -- -------

c v²

1- --

c²

Doba trvania určitého deja závisí od veľkosti rýchlosti, ktorou sa pohybuje pozorovateľ vzhľadom na miesto, v ktorom sa dej uskutočňuje. Čas je teda relatívna veličina.

Kontrakcia dĺžok. Relativistcké skladanie rýchlostí

Vzdialenosť dvoch bodov (dĺžka tyče) už nie je absolútna ako v klasickej mechanike, ale závisí od vzťažnej sústavy, v ktorej túto vzdialenosť meriame. Pri určovaní dĺžky tyče je podstatné to, že polohu oboch koncov tyče určujeme súčasne vzhľadom na sústavu, v ktorej dĺžku tyče meriame. Čím rýchlejšie sa vzhľadom na istú vzťažnú sústavu tyč pohybuje, tým menšiu nameriame dĺžku tyče v tejto sústave ako v sústave, vzhľadom na ktorú tyč je v pokoji. Pre kontrakciu dĺžky platí:

v²

l = l₀ 1 - --

c²

Relativistické skladanie rovnobežných rýchlostí:

u’ + v

u = --------

u‘v

1 + ---

c²

kde u je rýchlosť častice vzhľadom na sústavu S, u’ je rýchlosť častice vzhľadom na sústavu S’, v je rýchlosť sústavy S’ vzhľadom na sústavu S.

Hmotnosť telesa závisí od jeho rýchlosti.

Čím je rýchlosť telesa v danej sústave väčšia, tým väčšiu hmotnosť telesa v tejto sústave nameriame.

Pre relativistickú hmotnosť platí: m₀

m = --------

v²

1 - --

c²

Súvislosť energie a hmotnosti telesa:

m₀ c²

E = m c² = ----------

v²

1 - ---

c²

Kinetické energia:

1

Ek = E – E₀ = mc² – m₀c² = m0c2 (------- - 1)

v²

1 - ---

c²

Prírastok energie a prírastok hmotnosti sústavy sú viazané všeobecným vzťahom

DE = Dmc²

Relativistická hybnosť

m₀ v

p = m v = ---------

v²

1 - ---

c²