Gravitačné pole

Vzájomné silové pôsobenie Zeme a telesa je iba jedným z osobitných prípadov všeobecnej vlastnosti všetkých telies. Túto vlastnosť nazývame gravitácia. Veľkými príťažlivými gravitačnými silami vzájomne na seba pôsobia Zem a Mesiac, Slnko a Zem a ostatné planéty slnečnej sústavy.

Vzájomnú príťažlivosť telies študoval Isaac Newton. Na základe štúdia pohybu Mesiaca okolo Zeme a pohybu planét okolo Slnka sformuloval všeobecný gravitačný zákon. Je to jeden z najdôležitejších fyzikálnych zákonov: Dva hmotné body sa navzájom priťahujú rovnako veľkými gravitačnými silami, ale opačného smeru. Veľkosť gravitačnej sily Fg je priamo úmerná súčinu hmotností m₁, m₂ hmotných bodov a nepriamo úmerná druhej mocnine ich vzdialenosti r. Platí:

m₁ m₂

Fg = c ------ kde c je gravitačná konštanta. Hodnota je 6.67.10^-11 N.m².kg^-2.

r²

Uvedený vzťah pre Fg platí pre dva hmotné body alebo dve rovnorodé gule, ktorých stredy majú vzdialenosť r. Gravitačný zákon môžeme však použiť aj pre dve telesá, ktorých rozmery sú zanedbateľné vzhľadom na vzdialenosť medzi nimi, napr. pre dvojicu Zem-Mesiac, Slnko-Zem.

Gravitačné pole existuje v okolí každého telesa. Zdrojom gravitačného poľa sú hmotné telesá. Prejavuje sa silovým pôsobením na iné hmotné telesá. Má hmotnú povahu. Je určitou formou hmoty, ktorá existuje nezávisle od nášho vedomia.

Silové pôsobenie gravitačného poľa v danom mieste poľa charakterizuje fyzikálna veličina intenzita gravitačného poľa K. Definujeme ju ako podiel gravitačnej sily Fg, ktorá pôsobí na teleso s hmotnosťou m v danom mieste poľa a hmotnosti m tohto telesa. Teda : K = Fg / m, K je vektorová veličina. Má rovnaký smer ako gravitačná sila, ktorou gravitačné pole pôsobí v danom mieste na teleso. Jednotkou je N.kg^-1. Gravitačné pole má v danom mieste poľa intenzitu 1 N.kg^-1, keď gravitačné pole pôsobí v tomto mieste poľa na teleso s hmotnosťou 1 kg gravitačnou silou 1 N.

Z definície intenzity gravitačného poľa vyplýva vzťah Fg = m K. Podľa druhého pohybového zákona platí pre gravitačnú silu vzťah Fg = m. a_g, kde a_g je zrýchlenie, ktoré udeľuje telesu v danom mieste gravitačná sila Fg. Zrýchlenie a_g sa nazýva gravitačné zrýchlenie.

Porovnaním vzťahov Fg = m K a Fg = m a_g dostaneme vzťah K = a_g

Intenzita gravitačného poľa v danom mieste poľa sa rovná gravitačnému zrýchleniu.

Pozorujme gravitačné pole Zeme. Zem považujeme za rovnorodú guľu s hmotnosťou M_Z a polomer R_Z. Podľa Newtonovho gravitačného zákona pôsobí na teleso s hmotnosťou m a vo výške h nad zemským povrchom gravitačná sila veľkosti

m M_Z

Fg = c ------------- Na to isté teleso na povrchu Zeme (h=0)

(R_Z + h)² pôsobí gravitačná sila veľkosti Fg = (c.m.M_Z) / R_Z² . Veľkosť intenzity gravitačného poľa sa so zväčšujúcou vzdialenosťou od povrchu Zeme zmenšuje.

Gravitačné pole Zeme je približne radiálne. Radiálne alebo centrálne gravitačné pole je v okolí hmotného bodu alebo v okolí rovnorodej gule. Hmotný bod alebo stred gule predstavuje gravitačný stred poľa. Pre radiálne gravitačné pole je charakteristické to, že intenzita K vo všetkých miestach poľa smeruje do gravitačného smeru.

Pri skúmaní pohybov, ktoré prebiehajú vo vymedzenej oblasti gravitačného poľa sa intenzity gravitačného poľa v jednotlivých bodoch tejto oblasti od seba odlišujú čo do veľkosti a smeru len nepatrne. Takéto zidealizované gravitačné pole sa nazýva homogénne gravitačné pole. Homogénne gravitačné pole má vo všetkých miestach konštantný vektor intenzity.

Keď opisujeme gravitačné pole pomocou intenzity K, utvárame jeho matematický model, ktorým je vektorové pole. Každému bodu gravitačného poľa je jednoznačne priradený príslušný vektor intenzity K.

Iným modelom gravitačného poľa je siločiarový model založený na predstave siločiar. Siločiara je myslená čiara, ktorej dotyčnica zostrojená v každom jej bode určuje smer intenzity gravitačného poľa K.

Na teleso s hmotnosťou m, ktoré je na povrchu Zeme pôsobia dve sily: gravitačná sila Fg, ktorá smeruje do stredu Zeme a odstredivá sila Fo, ktorá je kolmá na rotačnú os.

V neinerciálnej sústave, ktorá je spojená so Zemou, pôsobí teda na teleso s hmotnosťou m výslednica gravitačnej sily Fg a zotrvačnej odstredivej sily Fo. Nazýva sa tiažová sila FG

FG = Fg + Fo. Pôsobením tiažovej sily koná voľne spustené teleso vo vákuu voľný pád so zrýchlením g. Toto zrýchlenie sa nazýva tiažové zrýchlenie. FG = m g. Smer tiažovej sily FG a smer tiažového zrýchlenia g sa volá zvislý smer a určíme ho podľa smeru napnutej nite voľne zavesenej olovnice. Priestor okolo Zeme, v ktorom sa prejavujú účinky tiažovej sily, volá sa aj tiažové pole.

Keďže veľkosť zotrvačnej odstredivej sily Fo sa mení so zemepisnou šírkou polohy telesa na povrchu Zeme (najväčšia je na rovníku, nulová na zemepisných póloch), mení sa so zemepisnou šírkou i veľkosť tiažovej sily FG a tiažového zrýchlenia g.

Okrem pojmu tiažová sila používame aj pojem tiaž telesa. Je to sila, ktorá má pôvod v tiažovom poli Zeme. Tiaž telesa sa prejavuje napr. ako tlaková sila, ktorou pôsobí teleso na nehybnú vodorovnú podložku, alebo ako ťažná sila, ktorou pôsobí teleso na nehybný zvislý záves.

Pôsobisko tiažovej sily leží v ťažisku telesa. Keď sa prejavuje účinok tiaže telesa na podložku alebo na záves, teleso je v stave tiaže. Ak sa tento účinok neprejavuje, hovoríme o beztiažovom stave.

Predpokladajme, že vo všetkých bodoch trajektórie, po ktorej sa teleso pohybuje, je intenzita gravitačného poľa K konštantná. Pole je homogénne, na teleso pôsobí teda stála gravitačná sila Fg = m K. Keď sa bude teleso voľne pohybovať pôsobením gravitačnej sily (teda po siločiare) z miesta B, ktoré je vo výške h₁ na Zemou, do miesta A, ktoré je vo výške h₂ nad Zemou, gravitačná sila vykoná prácu

W = Fg(h₁-h₂) alebo

W = m .K(h₁-h₂).

Pre gravitačnú silu, podobne ako pre tiažovú platí že práca, ktorú vykonajú gravitačné sily medzi bodmi A a B, nezávisí od trajektórie, po ktorej sa teleso pohybuje, ale iba od začiatočnej a konečnej výšky telesa vzhľadom na Zem.

Za predpokladu, že gravitačné pole je homogénne (K = konštanta)

vzťah Ep = m. K .h určuje gravitačnú potenciálnu energiu telesa s hmotnosťou m vo výške h na Zemou.

Gravitačná potenciálna energia telesa s hmotnosťou m v istom mieste gravitačného poľa je určená prácou, ktorú vykoná gravitačná sila pri premiestnení tohto telesa z daného miesta na povrch Zeme (nezávisle od trajektórie). Platí Ep = W.

Druhá veličina, ktorá charakterizuje gravitačné pole, je gravitačný potenciál ) g.

Gravitačný potenciál v danom bode poľa definujeme ako podiel gravitačnej potenciálnej energie telesa s hmotnosťou m v tomto bode poľa a hmotnosti tohto telesa Ep

jg = ----

m

Jednotkou je J.kg-1. Gravitačný potenciál v danom mieste poľa je 1 J.kg^-1, keď gravitačná sila pri premiestení telesa s hmotnosťou 1 kg z daného bodu na povrch Zeme vykoná prácu 1 J.

Pomocou potenciálu utvárame skalárne pole ako ďalší matematický model gravitačného poľa.

Pohyby telies v gravitačnom poli

Jednoduchým pohybom je voľný pád. Voľným pádom sa pohybuje každé teleso s nulovou začiatočnou rýchlosťou vo vákuu, ak naň pôsobí len tiažová sila. Voľný pád je pohyb rovnomerne zrýchlený priamočiary s konštantným zrýchlením g. Voľne podajúce teleso prejde za čas t dráhu s = 1/2 g t² a získa rýchlosť veľkosti v = g t.

Keď udelíme telesu vo vákuu v homogénnom tiažovom poli Zeme začiatočnú rýchlosť vo, možno si jeho pohyb predstaviť ako pohyb zložený z priamočiarého rovnomerného pohybu o smere rýchlosti v_o a z voľného pádu v smere tiažového zrýchlenia g. Tieto zložené pohyby voláme vrhy.

Výsledné posunutie d vrhnutého pohybu určíme ako vektorový súčet posunutia d₁ pri rovnomernom pohybe a posunutia d₂ pri voľnom páde. Teda d = d₁+d₂. Veľkosti posunutí d₁, d₂ v čase t od začiatku pohybu sú: d₁=v_ot , d₂ = 1/2 g t².

Podľa smeru začiatočnej rýchlosti v₀ rozlišujeme zvislý vrh, vodorovný vrh a šikmý vrh.

Zvislý vrh nahor koná teleso vtedy, keď má jeho začiatočná rýchlosť v₀ vzhľadom na tiažové zrýchlenie g opačný smer. Ide o pohyb priamočiary rovnomerne spomalený. Výška vrhu, ktorú teleso dosiahne za čas t, je daná veľkosťou posunutia d, ktoré určíme zložením posunutia d₁ pri rovnomernom pohybe zvislo nahor a posunutia d₂ pri voľnom páde zvislo nadol. Pretože obidve posunutia ležia na tej istej priamke, ale majú opačný smer, veľkosť výsledného posunutia je d = d₁- d₂ = v₀ t -1/2 g t²

Vodorovný vrh: po osi x rovnomerný pohyb a po osi y zrýchlený pohyb so zrýchlením g. X_a = v_o t Y_a = h - 1/2 g t² v_x = v_o v _y = g t v = v_x² + v_y²

Šikmý vrh: po osi x rovnomerný pohyb a po osi y zrýchlený pohyb so zrýchlením g.

v_ox = v_o cos a v_oy = v_o sin a X_a = v_oxt Y_a = v_oy t – 1/2 g t² v_x = v_ox v_y = v_oy – g t

v = v_x² + v_y²

Pohyby telies v radiálnom poli Zeme

Telesá musia na opustenie gravitačného poľa dosiahnuť určitú rýchlosť. Prvou takouto rýchlosťou je kruhová rýchlosť v_k ktorú ľahko vypočítame dosadením do vzorca: v_k = c M / R + h, druhou je parabolická rýchlosť, ktorú vypočítame podľa vzorca: v_p = v_k 2 v_p = 7.9 km s^-1 v_k = 11.2 km s^-1

Parabolickú rýchlosť voláme tiež aj úniková rýchlosť. Perigeu je vzdialenosť od stredu Zeme najmenšia, v protiľahlom bode – apogeu je najväčšia.

Pre pohyby telies platia Keplerove zákony:

1. Planéty sa pohybujú po elipsách málo odlišných od kružníc, v ich spoločnom ohnisku je slnko.

2. Plochy opísané sprievodičom planét za jednotku času sú konštantné.

3. Pomer druhých mocnín obežných dôb dvoch planét sa rovná pomeru tretích mocnín hlavných polosí ich trajektórií.

T₁² a₁³

----- = -----

T₂² a₂³