FUNKCIE

OBSAH

Funkčná závislosť, funkcia ako predpis (priradenie), vlastnosti funkcií, zložená funkcia.

Lineárna funkcia, obor definície a obor hodnôt, graf, nulový bod. Monotónnosť a ohraničenosť lineárnej funkcie, konštantná funkcia. Funkcia y = | x| , jej graf a základné vlastnosti. Priama úmernosť.

Kvadratická funkcia a jej graf (parabola, vrchol a os paraboly), nulové body kvadratickej funkcie, monotónnosť a ohraničenosť. Grafy kvadratickej funkcie s absolútnou hodnotou. Súvis kvadratickej rovnice a nerovnice s grafom príslušnej kvadratickej funkcie.

Definícia mocniny s prirodzeným (celočíselným) exponentom, grafy mocninových funkcií. Prostá a inverzná funkcia, definícia odmocniny. Nepriama úmernosť, lineárna lomená funkcia, vzťahy medzi grafmi funkcií y = k/(x-a) + b a y = K/x. Graf ľubovoľnej lineárnej lomenej funkcie (aj s absolútnou hodnotou), určenie asymptot (intuitívne pojem limity v nevlastnom bode).

Goniometrické funkcie ostrého uhla, goniometrické funkcie ľubovoľného uhla (na jednotkovej kružnici). Grafy a základné vlastnosti goniometrických funkcií, ich periodičnosť. Súmernosti na jednotkovej kružnici ako zdroj objavovania ďalších vlastností týchto funkcií, súčtové vzorce, vzorce pre polovičný a dvojnásobný uhol. Grafy funkcií typu y = a . f(bx + c) + d, grafy funkcií s absolútnymi hodnotami. Inverzné funkcie ku goniometrickým funkciám (intuitívne - hľadanie veľkosti uhla k danej hodnote funkcie).

Mocniny s reálnym exponentom, definícia exponenciálnej funkcie, jej základné vlastnosti. Vplyv základu na priebeh exponenciálnej funkcie, graf exponenciálnej funkcie, funkcia y = ex. Logaritmická funkcia ako funkcia inverzná k exponenciálnej, jej vlastnosti. Dekadický a prirodzený logaritmus, základné vlastnosti logaritmov. Používanie dekadických logaritmov pri zjednodušovaní numerických výpočtov.

Maturitný štandard

Polynomické funkcie a ich vlastnosti. Limita funkcie v bode a jej súvis so spojitosťou. Limita vo vlastnom a nevlastnom bode, vlastností limít a ich určovanie.

Derivácia funkcie v bode a jej geometrická i fyzikálna aplikácia. Derivácia ako funkcia, derivácie elementárnych funkcií. Základné pravidlá na výpočet derivácií, derivácia zloženej funkcie a derivácie vyšších rádov. Využitie derivácií pri vyšetrovaní priebehu funkcie. [L’Hospitalovo pravidlo]. Derivácia funkcie danej implicitne.

Primitívna funkcia a neurčitý integrál. Primitívne funkcie k elementárnym funkciám. Určitý integrál, jeho zavedenie a vlastnosti. Obsah elementárnej oblasti o objem rotačného telesa.

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

5.1 Všeobecné vedomosti

5.1.1 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov funkcia, predpis funkcie, obor definície a obor hodnôt, argument, funkčná hodnota a graf funkcie

5.1.2 Rozoznať v slovnom texte funkčnú závislosť a matematicky ju sformulovať

5.1.3 Určiť (aspoň z grafu funkcie) vlastnosti funkcie (monotónnosť, lokálne extrémy, párnosť a nepárnosť, ohraničenosť, periodičnosť)

5.1.4 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch princíp vytvorenia inverznej funkcie k prostej funkcii a aplikovať ho na jednoduché funkcie (lineárne, kvadratické, goniometrické, exponenciálne)

5.1.5 Načrtnúť, na základe poznania grafu funkcie y = f(x), grafy funkcií y = – f(x), y = f(x) + k, y = | f(x)| , y = f(x + q), y = f(x + q) + k

 

5.2 Lineárna funkcia

5.2.1 Definovať lineárnu funkciu, poznať jej obor definície a obor hodnôt

5.2.2 Načrtnúť graf funkcie y = kx + q na základe poznania geometrického významu parametrov k, q

5.2.3 Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument

5.2.4 Rozhodnúť o monotónnosti lineárnej funkcie podľa hodnoty parametra k

5.2.5 Nájsť predpis lineárnej funkcie, ak sú dané jej body

5.2.6 Zostrojiť graf lineárnej funkcie s absolútnymi hodnotami

 

5.3 Kvadratická funkcia

5.3.1 Definovať kvadratickú funkciu, poznať jej obor definície a obor hodnôt

5.3.2 Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument

5.3.3 Vysvetliť geometrický význam parametrov a, c v súvislosti s grafmi funkcií y = x2 a y = ax2 + bx + c

5.3.4 Nájsť vrchol a os paraboly, ktorá je grafom kvadratickej funkcie, určiť jej nulové body a načrtnúť ju

5.3.5 Určiť, podľa načrtnutého grafu, obor hodnôt a intervaly monotónnosti

5.3.6 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch súvislosť medzi hodnotou diskriminantu kvadratickej rovnice ax2 + bx + c = 0 a grafom funkcie y = ax2 + bx + c

 

5.4 Lineárna lomená funkcia

5.4.1 Definovať lineárnu lomenú funkciu, opísať vzťah medzi lineárnou lomenou funkciou a nepriamou úmernosťou

5.4.2 Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument

5.4.3 Určiť obor definície ľubovoľnej lineárnej lomenej funkcie

5.4.4 Určiť nulové body grafu ľubovoľnej lineárnej lomenej funkcie

5.4.5 Určiť asymptoty grafu ľubovoľnej lineárnej lomenej funkcie

 

5.5 Mocninová funkcia

5.5.1 Definovať mocninovú funkciu (y = xn, n Î Z), poznať jej obor definície

5.5.2 Opísať na konkrétnych príkladoch vlastnosti mocninových funkcií s párnym (nepárnym) n

5.5.3 Opísať na konkrétnych príkladoch vlastnosti mocninových funkcií s kladným (záporným) n

 

5.6 Exponenciálna a logaritmická funkcia

5.6.1 Definovať exponenciálnu funkciu, poznať jej obor definície a obor funkčných hodnôt

5.6.2 Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument

5.6.3 Opísať na konkrétnych príkladoch súvislosť priebehu exponenciálnej funkcie s hodnotou jej základu a, s pomocou význačných bodov načrtnúť jej graf

5.6.4 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch vzájomnú súvislosť exponenciálnej a logaritmickej funkcie ako funkcií navzájom inverzných

5.6.5 Definovať logaritmus a opísať pravidlá logaritmovania súčinu, podielu, mocniny a odmocniny

5.6.6 Aplikovať pravidlá logaritmovania pri logaritmovaní i odlogaritmovaní výrazov

 

5.7 Goniometrické funkcie

5.7.1 Definovať goniometrické funkcie sínus, kosínus, tangens a cotangens, poznať ich definičné obory, obory hodnôt, grafy a periódy

5.7.2 Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument

5.7.3 Načrtnúť graf goniometrickej funkcie tvaru y = a .f (bx + c) + d

5.7.4 Aktívne ovládať vzorce: sin2x + cos2x = 1, tg x . cotg = 1,

sin(x + y) = sin x.cos y + cos x.sin y,

cos(x + y) = cos x.cos y - sin x.sin y,

 

Maturitný štandard

5.8 Úvod do matematickej analýzy

5.8.1 Chápať pojem limita funkcie v bode a ovládať výpočet jednoduchých limít

5.8.2 Vedieť z daného grafu funkcie odhadnúť limity v nevlastných bodoch a nevlastné limity v bodoch nespojitosti

5.8.3 Poznať derivácie elementárnych funkcií a vzorce na deriváciu súčtu, súčinu i podielu dvoch funkcií, aplikovať ich pri derivovaní funkcií

5.8.4 Vedieť derivovať jednoduchšie zložené funkcie

5.8.5 Chápať geometrickú a fyzikálnu interpretáciu derivácie

5.8.6 Určiť priebeh jednoduchších algebrických funkcií s využitím nasledujúcich charakteristík:

a) obor definície

b) párna (nepárna) funkcia

c) priesečníky so súradnicovými osami

d) intervaly monotónnosti a lokálne extrémy

e) limity v nevlastných bodoch

f) obor hodnôt

g) graf

5.8.7 Riešiť jednoduché slovné úlohy požadujúce nájdenie extrému funkcie

5.8.8 Vysvetliť obsah pojmu primitívna funkcia k danej funkcii

5.8.9 Poznať základné vzorce a pravidlá na výpočet neurčitých integrálov, vedieť ich aplikovať

5.8.10 Ovládať výpočet jednoduchých určitých integrálov na základe Newton-Leibnizovej vety

5.8.11 Vypočítať obsah množiny M v týchto prípadoch:

a) množina M je ohraničená grafom funkcie f a priamkou y = 0

b) množina M je ohraničená grafom funkcie f a priamkami y = 0, x = a, x = b

c) množina M je ohraničená grafmi funkcie f a g

d) množina M je disjunktným zjednotením dvoch množín typu a), b), c)

5.8.12 Vypočítať objem rotačných telies vytvorených rotáciou krivky y = f(x) okolo osi x

5.8.13 Chápať najjednoduchšie, najmä fyzikálne, aplikácie určitého integrálu